一、教学目标
- 知识与技能：掌握二分法的基本原理，学会利用二分法求方程近似解的方法。
- 过程与方法：通过具体实例，体验二分法求解方程近似解的过程，培养数形结合和逻辑推理能力。
- 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，体会数学在解决实际问题中的应用价值。
二、教学重难点
- 重点：二分法的基本原理和应用步骤。
- 难点：如何选择合适的区间，并保证近似解的精度要求。
三、教学准备
- 多媒体课件、函数图像绘制工具、练习题设计。
四、教学过程
（一）导入新课
通过实际问题引入：如何求解方程 \(x^3 - x - 1 = 0\) 的近似解？引导学生思考，传统代数法难以求解，从而引出二分法。
（二）新知讲解
1. 二分法的定义：
二分法是一种通过不断将区间对半分，逐步逼近方程根的方法。适用于连续函数在区间 \([a, b]\) 内存在唯一根的情况（即 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)）。
- 操作步骤：
- 步骤1：确定初始区间 \([a, b]\)，使得 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)。
- 步骤2：计算中点 \(c = \frac{a + b}{2}\)，并求 \(f(c)\)。
- 步骤3：判断：
- 若 \(f(c) = 0\)，则 \(c\) 即为方程的根。
- 若 \(f(a) \cdot f(c) < 0\)，则根在 \([a, c]\) 内，令 \(b = c\)。
- 若 \(f(c) \cdot f(b) < 0\)，则根在 \([c, b]\) 内，令 \(a = c\)。
- 步骤4：重复步骤2和3，直到区间长度小于预设精度 \(\varepsilon\)。
3. 示例讲解：
求解方程 \(f(x) = x^3 - x - 1 = 0\) 在区间 \([1, 2]\) 内的近似解（精度 \(\varepsilon = 0.1\)）。
- \(f(1) = -1\)，\(f(2) = 5\)，满足 \(f(1) \cdot f(2) < 0\)。
- 迭代过程：
- 第一次：中点 \(c = 1.5\)，\(f(1.5) = 0.875 > 0\)，根在 \([1, 1.5]\)。
- 第二次：中点 \(c = 1.25\)，\(f(1.25) = -0.296875 < 0\)，根在 \([1.25, 1.5]\)。
- 第三次：中点 \(c = 1.375\)，\(f(1.375) \approx 0.2246 > 0\)，根在 \([1.25, 1.375]\)。
- 区间长度 \(0.125 < 0.1\)，停止迭代，近似解为 \(1.375\)。
（三）巩固练习
- 求解方程 \(f(x) = x^2 - 2 = 0\) 在区间 \([1, 2]\) 内的近似解（精度 \(\varepsilon = 0.01\)）。
- 探究二分法的优缺点，讨论其适用范围。
（四）课堂小结
- 二分法是一种简单有效的数值方法，适用于连续函数的近似求解。
- 关键点：区间选择、迭代过程、精度控制。
- 注意：二分法收敛速度较慢，但稳定性高。
五、课后作业
- 完成练习册相关习题，尝试用二分法求解方程 \(x^3 + 2x - 5 = 0\) 在 \([1, 2]\) 内的近似解（精度 \(0.05\)）。
六、教学反思
本节课通过实例引导学生理解二分法，注重动手操作和思维训练。后续可结合计算机编程，提升求解效率，增强学生的学习兴趣。
