同济大学数学系编写的《高等数学》第七版上册是国内广泛使用的经典教材，第七章主要涉及定积分的应用。本章内容涵盖了定积分在几何、物理及其他实际问题中的具体应用方法，包括平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。课后习题旨在帮助学生巩固理论知识，并提升解决实际问题的能力。
以下是本章部分典型习题的简要解析思路：
1. **平面图形的面积计算**：题目通常要求利用定积分求解由曲线围成的平面区域面积。关键步骤包括确定积分区间、写出被积函数（通常是上曲线减下曲线的差值），然后计算定积分。例如，求两条曲线之间的面积时，需先找到交点以确定积分上下限。
2. **旋转体的体积问题**：这类习题涉及绕坐标轴旋转形成的立体体积。常用方法有圆盘法或壳法。学生需要根据旋转轴和函数表达式选择合适的公式，并注意积分变量的选取。例如，绕x轴旋转时，体积公式为π∫[a,b] [f(x)]² dx。
3. **曲线的弧长计算**：定积分可用于计算光滑曲线的弧长。公式为∫√(1 + [f'(x)]²) dx，积分区间由曲线端点决定。求解时需先求导，再代入公式进行积分运算。
4. **物理应用问题**：本章还包含定积分在物理中的应用，如变力做功、液体压力等。解题时需将物理量转化为积分表达式，例如做功问题中，力随位移变化时，功为∫F(x) dx。
对于具体习题的详细答案，建议参考配套的习题解答书籍或权威教学网站，以获取逐步推导过程和最终结果。同时，注重理解定积分的几何意义和物理背景，能有效提升解题能力。在学习过程中，多做练习并总结常见题型，有助于掌握本章核心内容。
