数列与不等式是高中数学的核心内容，两者相结合常出现在高考压轴题或优等生提分训练中。这类问题要求学生不仅掌握数列的通项公式、前n项和等基础知识，还需要灵活运用不等式性质、放缩技巧和数学归纳法来解决问题。
一、数列与不等式结合问题的常见类型
- 利用数列递推关系证明不等式：例如，已知数列{an}的递推公式，证明an ≤ f(n)或an ≥ g(n)。
- 数列求和与不等式：在求数列前n项和时，结合不等式进行放缩，以简化计算或证明结论。
- 数列极限与不等式：通过不等式分析数列的收敛性，或利用极限性质求解相关不等式问题。
二、解题策略与方法
- 数学归纳法：对于与自然数n相关的不等式证明，数学归纳法是常用工具。先验证n=1时成立，再假设n=k时成立，推导n=k+1时的情形。
- 放缩技巧：通过放大或缩小数列项，将复杂数列转化为简单数列（如等比数列、等差数列），从而应用已知不等式结论。
- 函数思想：将数列视为离散函数，利用函数的单调性、最值等性质辅助分析不等式。
三、典型例题分析
例：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an + 1/(n^2)，证明an < 2。
解析：通过递推关系可得an = 1 + ∑(k=1 to n-1) 1/k^2。利用不等式1/k^2 < 1/(k(k-1)) = 1/(k-1) - 1/k（当k≥2），进行放缩：an < 1 + (1 - 1/(n-1)) = 2 - 1/(n-1) < 2。
四、练习建议
优等生应注重综合训练，选择高考真题或模拟题中的数列与不等式结合问题，强化放缩技巧和归纳法的应用。同时，总结常见模型（如调和数列、幂级数相关不等式），提升解题效率。
数列与不等式的结合问题考查学生的逻辑推理和综合应用能力。通过系统训练，掌握核心方法，能在高考中脱颖而出，实现高分突破。
